Вероятность › Случайная величина

Случайная величина

Задание 6 спрашивает не вероятность события, а сколько в среднем и насколько велик разброс: какой выигрыш приходится на один билет, сколько раз остановится машина, насколько результат отходит от среднего. Для таких вопросов нужно одно новое понятие — случайная величина — и две её характеристики: матожидание и дисперсия.

До этой темы

Тема опирается на классическую вероятность и на сложение и умножение вероятностей: вероятности в таблицах ниже считаются именно так.

Случайная величина и распределение

Определение

Случайная величина — число, которое станет известно только после опыта. Её обозначают большой буквой: $X$ , $Y$ , а значения — маленькими: $x_{1}, x_{2}, \dots$

Не событие и не вероятность, а именно число: сумма очков на кубиках, выигрыш по билету, число попаданий из десяти выстрелов.

Бросают две монеты, $X$ — число выпавших орлов. Исходов четыре, и они равновозможны: ОО, ОР, РО, РР. Два орла — один исход из четырёх, один орёл — два исхода, ни одного — снова один. Всё, что известно о $X$ , помещается в таблицу:

$X$	$0$	$1$	$2$
$p$	$0, 25$	$0, 5$	$0, 25$

Такая таблица — значения в первой строке, их вероятности во второй — называется распределением случайной величины.

Сумма вероятностей в распределении равна единице: $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ . Если не равна — таблица составлена неверно или условие прочитано не до конца.

Как объяснить

Начинать лучше с таблицы, а не с определения. Ученик сам выписывает значения и считает вероятности — и определение приходит после, как имя для того, что уже сделано.

Математическое ожидание

Выпущено 2000 лотерейных билетов. На 300 из них выигрыш 100 рублей, на 40 — 1000 рублей, на 4 — 5000 рублей, на остальные 1656 — ничего. Сколько в среднем выигрывает один билет? Как и любое среднее: сложить все выигрыши и разделить на число билетов.

100 \cdot 300 + 1000 \cdot 40

+ 5000 \cdot 4 + 0 \cdot 1656 = 90000

90000 : 2000 = 45

Теперь разделим на 2000 каждое слагаемое по отдельности. Число билетов с данным выигрышем, делённое на 2000, — это вероятность такого выигрыша. Получится распределение выигрыша $X$ :

$X$	$0$	$100$	$1000$	$5000$
$p$	$0, 828$	$0, 15$	$0, 02$	$0, 002$

А среднее — сумма произведений значений на их вероятности:

0 \cdot 0, 828 + 100 \cdot 0, 15

+ 1000 \cdot 0, 02 + 5000 \cdot 0, 002 = 45

Определение

Математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности:

M (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

Смысл — средний результат при большом числе повторений опыта: при многих повторениях доля каждого исхода близка к его вероятности, и сумма выше — то же самое «сложить и разделить на количество». Не самое вероятное значение и не «обычное», а центр, вокруг которого собираются результаты. Измеряется матожидание в тех же единицах, что и сама величина: в рублях, в штуках, в очках.

Типичная ошибка

Разделить сумму выигрышей на число выигрышных билетов, 344, а не на все 2000. «На один билет» — на любой купленный, а не только на счастливый.

Типичная ошибка

Искать матожидание среди значений таблицы. Монета: орёл — 0, решка — 1. Матожидание $0 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 0, 5$ , а такого результата не бывает ни в одном броске. Матожидание — среднее, а не одно из значений.

Типичная ошибка

Путать вероятность и матожидание: «вероятность выигрыша 0,3 — значит, матожидание 0,3». Помогает вопрос «в чём измеряется ответ?»: вероятность — просто число, матожидание выигрыша — в рублях.

Пример: распределение дано таблицей

Случайная величина $X$ задана распределением. Найдите $M (X)$ .

$X$	$- 2$	$1$	$4$	$10$
$p$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$	$0, 1$

Сначала проверка: $0, 3 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 1 = 1$ . Затем определение:

M (X) = - 0, 6 + 0, 4 + 0, 8 + 1 = 1, 6

Ответ: 1,6.

Свойства матожидания

$M (C) = C$ — у постоянной матожидание равно ей самой;
$M (C X) = C \cdot M (X)$ — постоянный множитель выносится;
$M (X + C) = M (X) + C$ — сдвиг величины сдвигает и центр;
$M (X + Y) = M (X) + M (Y)$ .

Матожидание суммы равно сумме матожиданий — всегда, даже если величины зависят друг от друга.

На последнем свойстве держится половина задач темы. Матожидание очков на одном кубике — $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3, 5$ . Значит, матожидание суммы на двух кубиках — $3, 5 + 3, 5 = 7$ , и таблицу из одиннадцати значений составлять не нужно. Даже если кубики связаны — второй всегда показывает то же, что первый, — сумма равна удвоенному первому, и в среднем снова 7.

Сколько событий произойдёт

Каждое событие в среднем добавляет к числу произошедших свою вероятность. Событие с вероятностью 0,9 в ста повторениях опыта случится примерно 90 раз — по 0,9 на один опыт. Средние вклады событий складываются.

Матожидание числа событий, которые произойдут, равно сумме их вероятностей — даже если события зависят друг от друга.

Пример: разные вероятности

На контрольной четыре задачи. Ученик решает первую с вероятностью 0,9, вторую — 0,8, третью — 0,6, четвёртую — 0,3. Найдите математическое ожидание числа решённых задач.

Из ста таких контрольных первую задачу ученик решит примерно в 90, вторую — в 80, третью — в 60, четвёртую — в 30. Всего 260 решённых задач, по 2,6 на контрольную. Это и есть сумма вероятностей:

M = 0, 9 + 0, 8 + 0, 6 + 0, 3 = 2, 6

Ответ: 2,6.

Как объяснить

Если ученик начал составлять распределение числа решённых задач — шестнадцать вариантов, — остановить: спрашивают только среднее, а для него достаточно сложить вероятности. Таблица здесь не ошибка, но на экзамене это лишние десять минут.

Серия одинаковых испытаний

Тот же приём, когда вероятность во всех испытаниях одна. Проводят $n$ испытаний, в каждом успех с вероятностью $p$ ; $X$ — число успехов. Каждое испытание добавляет в среднем $p$ успехов, а $n$ испытаний — $n$ раз по $p$ :

M (X) = n p

Пример: число попаданий

Стрелок делает 40 выстрелов, при каждом попадает с вероятностью 0,85. Найдите математическое ожидание числа попаданий.

M = 40 \cdot 0, 85 = 34

Ответ: 34.

До первого успеха

Испытания повторяют, пока не случится успех; $X$ — число испытаний вместе с последним, удачным. Из 600 бросков кубика шестёрок выпадет около 100 — на одну шестёрку в среднем уходит 6 бросков. В общем виде, если успех случается с вероятностью $p$ :

M (X) = \frac{1}{p}

Если ждут не первого, а $k$ -го успеха, ожидание складывается из $k$ одинаковых отрезков «до следующего успеха»: $M = \frac{k}{p}$ .

Пример: до шестёрки

Игральный кубик бросают, пока шестёрка не выпадет во второй раз. Найдите математическое ожидание числа бросков.

Вероятность шестёрки при одном броске $\frac{1}{6}$ . До первой шестёрки в среднем 6 бросков, до второй — ещё 6:

M = \frac{2}{1/6} = 12

Ответ: 12.

Типичная ошибка

Пропустить слово «второй» и ответить 6. Или разделить 6 на 2 и ответить 3. Проверка по смыслу: двух шестёрок ждать дольше, чем одной.

Спросить ученика

Чем отличается «число попаданий из 40 выстрелов» от «числа выстрелов до первого попадания»? В первом случае число испытаний задано, а случайно число успехов. Во втором задано число успехов, а случайно число испытаний. Модель выбирают по вопросу, а не по сюжету.

Равномерное распределение на отрезке

Это величина другого рода: она может принять любое значение отрезка, значений бесконечно много, и таблицу не составить. $X$ равномерно распределена на отрезке $[a; b]$ , если в два куска отрезка одинаковой длины она попадает одинаково вероятно. Так распределено время ожидания автобуса, который ходит раз в 10 минут, если прийти на остановку наугад: от 0 до 10 минут. Центр такой величины — середина отрезка:

M (X) = \frac{a + b}{2}

Автобус в среднем придётся ждать $\frac{0 + 10}{2} = 5$ минут.

Дисперсия: насколько далеко от центра

Матожидание говорит, где центр, но не говорит, насколько результаты от него разбросаны. Величина $X$ принимает значения 9 и 11, величина $Y$ — 0 и 20, обе с вероятностями 0,5. Матожидание у обеих 10, а ведут они себя совсем по-разному.

Разброс хочется измерить средним отклонением от центра. У $X$ отклонения $- 1$ и $1$ , у $Y$ — $- 10$ и $10$ , и среднее у обеих — ноль: отклонения в разные стороны гасят друг друга. Так бывает у любой величины: по свойству сдвига $M (X - M (X)) = M (X) - M (X) = 0$ . Поэтому отклонения возводят в квадрат: квадрат не бывает отрицательным, и гасить друг друга отклонения перестают.

Определение

Дисперсия — матожидание квадрата отклонения от центра:

D (X) = M ((X - M (X))^{2})

Для $X$ это $0, 5 \cdot 1 + 0, 5 \cdot 1 = 1$ , для $Y$ — $0, 5 \cdot 100 + 0, 5 \cdot 100 = 100$ . Разница в разбросе стала числом.

Считать по определению долго: сначала центр, потом каждое отклонение, потом квадраты. Удобнее равносильная формула:

D (X) = M (X^{2}) - (M (X))^{2}

где $M (X^{2}) = x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2} + \dots + x_{n}^{2} p_{n}$ — та же сумма, только значения возведены в квадрат.

Проверим на $X$ : $M (X^{2}) = 0, 5 \cdot 81 + 0, 5 \cdot 121 = 101$ , и $101 - 1 0^{2} = 1$ — как по определению.

Типичная ошибка

Потерять квадрат у второго слагаемого: $M (X^{2}) - M (X)$ . Выручает проверка размерности: если $X$ в рублях, то $M (X^{2})$ в рублях в квадрате, и вычитать из него рубли нельзя.

У дисперсии неудобная единица: если $X$ в рублях, то $D (X)$ — в рублях в квадрате. Чтобы вернуться к рублям, из неё извлекают корень.

Определение

Стандартное отклонение — корень из дисперсии, $σ (X) = D (X)$ . Измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Пример: стандартное отклонение по таблице

Случайная величина $X$ задана распределением. Найдите $σ (X)$ .

$X$	$- 3$	$2$	$7$
$p$	$0, 1$	$0, 6$	$0, 3$

Матожидание:

M (X) = - 0, 3 + 1, 2 + 2, 1 = 3

Матожидание квадрата — значения в квадрате, вероятности те же:

M (X^{2}) = 9 \cdot 0, 1 + 4 \cdot 0, 6 + 49 \cdot 0, 3

= 0, 9 + 2, 4 + 14, 7 = 18

D (X) = 18 - 3^{2} = 9, σ (X) = 9 = 3

Проверка по определению: отклонения от центра $- 6$ , $- 1$ , $4$ , их квадраты с весами — $36 \cdot 0, 1 + 1 \cdot 0, 6 + 16 \cdot 0, 3 = 3, 6 + 0, 6 + 4, 8 = 9$ . Сошлось.

Ответ: 3.

Заметка

В задачах экзамена корень обычно извлекается точно. Это удобно, но не стоит внушать ученику, что «должно получиться красиво»: при некрасивом числе он начнёт искать ошибку там, где её нет. Ошибку ищут проверкой, а не по виду ответа.

Свойства дисперсии

$D (C) = 0$ — у постоянной разброса нет;
$D (C X) = C^{2} \cdot D (X)$ — отклонения становятся в $C$ раз больше, их квадраты — в $C^{2}$ ;
$D (X + C) = D (X)$ — сдвиг не меняет разброса;
$D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ — только для независимых величин: у $X + X = 2 X$ дисперсия $4 D (X)$ , а не $2 D (X)$ .

Типичная ошибка

Складывать стандартные отклонения. Складываются дисперсии, а не их корни. Две независимые величины с $σ = 4$ : дисперсия суммы $16 + 16 = 32$ , и $σ$ суммы — $32 \approx 5, 66$ , а не 8.

Дисперсия готовых моделей

Число успехов в одном испытании принимает значения 0 и 1 с вероятностями $1 - p$ и $p$ . Ноль и единица в квадрате не меняются, поэтому $M (X^{2}) = M (X) = p$ и

D = p - p^{2} = p (1 - p)

В серии из $n$ независимых испытаний число успехов — сумма успехов в отдельных испытаниях, а дисперсии независимых слагаемых складываются:

D (X) = n p (1 - p)

Для равномерного распределения на $[a; b]$ формулу берут готовой — двенадцать в знаменателе получается интегрированием:

D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

Пример: дисперсия числа успехов

Монету с вероятностью орла 0,2 подбрасывают 25 раз. Найдите стандартное отклонение числа выпавших орлов.

D = 25 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 4, σ = 4 = 2

Ответ: 2.

Типичная ошибка

Взять $n p$ вместо $n p (1 - p)$ : посчитать матожидание, $25 \cdot 0, 2 = 5$ , и подписать его дисперсией.

Пример: равномерное распределение

Случайная величина $X$ равномерно распределена на отрезке $[1; 7]$ . Найдите $D (X)$ .

D (X) = \frac{( 7 - 1 ) ^{2}}{12} = \frac{36}{12} = 3

Ответ: 3.

Цена игры и матожидание

Самая содержательная задача темы — сравнить цену участия с матожиданием выигрыша. Она объясняет, почему автомат выгоден владельцу, а не игроку.

Пример: автомат с капсулами

В автомате 100 капсул, в каждой игрушка. В 60 капсулах игрушки стоимостью 50 рублей, в 30 — по 100 рублей, в 10 — по 400 рублей. Капсула стоит 130 рублей. На сколько рублей цена капсулы больше математического ожидания стоимости игрушки?

Пустых капсул нет, поэтому вероятности набираются по всем строкам: $0, 6 + 0, 3 + 0, 1 = 1$ . Матожидание стоимости игрушки:

M = 50 \cdot 0, 6 + 100 \cdot 0, 3 + 400 \cdot 0, 1

= 30 + 30 + 40 = 100

Цена больше на $130 - 100 = 30$ рублей.

Доход игрока — стоимость игрушки минус цена капсулы: $- 80$ , $- 30$ или $270$ рублей с теми же вероятностями. Его матожидание $- 30$ : в среднем игрок теряет 30 рублей с каждой капсулы.

Ответ: 30.

Спросить ученика

Какой должна быть цена капсулы, чтобы игра была честной — ни игрок, ни владелец в среднем не выигрывали? Равной матожиданию, 100 рублей. Ученик обычно отвечает сам.

Типичная ошибка

Вычесть цену там, где её не спрашивали, или забыть, где спрашивали. До счёта выписать, что именно нужно: матожидание выигрыша, матожидание дохода (выигрыш минус цена) или разницу цены и матожидания.

Какую формулу взять

Модель выбирают по вопросу:

дана таблица или выигрыши по билетам — определение, $M = \sum x_{i} p_{i}$ ;
по таблице спрашивают разброс — $D = M (X^{2}) - (M (X))^{2}$ , $σ = D$ ;
сколько событий произойдёт, вероятности разные — сумма вероятностей;
сколько успехов в $n$ одинаковых испытаниях — $M = n p$ , $D = n p (1 - p)$ ;
сколько испытаний до $k$ -го успеха — $M = \frac{k}{p}$ ;
величина равномерно распределена на отрезке — $M = \frac{a + b}{2}$ , $D = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ ;
цена игры — сначала матожидание выигрыша, потом сравнить с ценой.

Потренироваться можно в конструкторе вариантов: в нём есть задание 6 «Случайная величина» — базовые и усложнённые задачи с ответами, все формы из этой темы.

← Методы решения задач Приёмы вычислений →