Формулы приведения

Знаки тригонометрических функций

Знаки функций расставляются очевидным образом, исходя из значений на осях синуса и косинуса. Можно немного одушевить функции, запомнив синус как добряка, который улыбается, а косинус — как некоторый не особо социальный элемент общества, который предпочитает находиться на своей волне (ещё и лёжа на боку). Такое распределение ролей в дальнейшем поможет быстрее запомнить формулы для суммы аргументов

Формулы приведения

Термин “приведение” подразумевает, что у нас есть формула с составным аргументом (например, $\sin (9\pi +x)$), и мы хотим каким-то образом избавиться от лишнего слагаемого, то есть, привести функцию к аргументу $x$. Это возможно далеко не с любым слагаемым, однако для “полуцелых” (то есть, кратных $\pi /2$) значений слагаемого есть удобный алгоритм. Список формул, которые можно было бы выучить и пользоваться, довольно обширный и не самый приятный для запоминания. Мы предлагаем понять принцип, по которому работают все эти формулы, и пользоваться уже им.

Итак, наша задача — приведение функций с аргументом вида “$x+n\cdot \pi /2$” к аргументу $x$ ($n$ — любое целое число). Делать мы это будем с помощью тригонометрической окружности, а точнее, поворота её и осей вокруг начала координат Во всех приведенных примерах угол x находится в пределах первой четверти исключительно для удобства, все приёмы работают для произвольного x.

$\cos (x+\pi )$

На левом рисунке показана точка, косинус которой мы хотим найти. Поворотом осей на $\pi$ мы “вернём” эту точку на место, где должна находиться первая четверть (см. правый рисунок). Мысленно восстановим прежнее положение осей и сопоставим с тем, что у нас получилось: оси оказались направлены в обратных направлениях. Расстояние от начала координат до отметки на оси косинусов (см. рисунок) в точности равно $\cos x$, но ось направлена влево, поэтому в той области, где мы находимся, значение получится отрицательным:

$\sin (x+\frac{\pi }{2})$

Аналогичные манипуляции проделаем с новым выражением: нам нужно сделать поворот осей на $\pi /2$. Теперь ось синусов находится на месте оси косинусов, а ось косинусов — на месте оси синусов и направлена вниз. Нас интересует синус исходного выражения, значение которого можно определить на правой рисунке по “старой” оси косинусов: расстояние от начала координат до искомого значения равно $\cos x$. “Новая” ось синусов совпадает с направлением “старой” оси косинусов, поэтому никакой минус в данном случае не появится:

$\sin (x+\frac{3\pi }{2})$

Снова применяем тактику с поворотом осей: в этом случае “новая” ось косинусов совпала со “старой” осью синусов, а “новая” ось синусов направлена противоположно “старой” оси косинусов. От предыдущего примера будет лишь одно отличие — появится знак минус из-за противоположной направленности “старой” оси косинусов и “новой” оси синусов:

Интерактивный график

Алгоритм

После рассмотрения примеров выше мы можем сформулировать пошаговую инструкцию, по которой в любой ситуации будем приводить выражение к нужному аргументу. Всего у нас есть четыре точки на одном витке окружности, лежащие на осях синуса и косинуса — назовем эти точки пограничниками. При переходе через пограничников, наша функция может поменяться на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$ и $\mathrm{tg}\leftrightarrow \mathrm{ctg}$) и/или поменять знак. Причем при переходе через пограничников, лежащих на горизонтальной оси, функция не меняется никогда, а при переходе через вертикальных — всегда меняется. Итак, у нас есть “добрые” горизонтальные пограничники, которые принимают функцию такой, какая она есть, а есть “строгие” вертикальные пограничники, которые заставляют функцию измениться.

Сам алгоритм рассуждений выглядит так:

1. 1
   Задаемся вопросом: “Меняется ли функция на кофункцию?”
2. Если проходим через горизонтальных пограничников, смотрим на обоих, мотаем головой из стороны в сторону — говорим нет — функция не меняется
3. Если проходим через вертикальных, также смотрим на обоих, киваем головой вверх-вниз — говорим да — функция меняется на кофункцию
2. 2
   По знаку исходного выражения определяем знак, который поставим перед получившейся функцией