Приёмы вычислений

В прикладных, текстовых и экономических задачах числа подобраны так, что ответ выходит целым или конечной десятичной дробью. Но по дороге к нему встречаются произведения вроде $120\cdot 120$, деления на $0,85$ и степени десяти. Ученик, который перемножает всё подряд, теряет время и ошибается в счёте при верно составленном уравнении.

Признаки делимости

Чтобы сокращать, нужно видеть общий множитель. Признаки делимости находят его без деления столбиком — и пригодятся почти везде ниже: в сокращении дробей, в извлечении корня, в делении уравнения на общий множитель.

• на 2 — последняя цифра чётная;
• на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0;
• на 4 — число из двух последних цифр делится на 4; на 25 — две последние цифры 00, 25, 50 или 75;
• на 8 — число из трёх последних цифр делится на 8;
• на 3 — сумма цифр делится на 3; на 9 — сумма цифр делится на 9.

Составные делители — через пары: на 6 — значит на 2 и на 3, на 12 — на 3 и на 4, на 15 — на 3 и на 5, на 18 — на 2 и на 9. Пару берут только из чисел без общих делителей: деление на 2 и на 4 ещё не означает деления на 8.

Пример

Сократить $\frac{378}{567}$. Сумма цифр у обоих чисел 18 — оба делятся на 9:

Признаки посложнее: на 11 и на 7

На 11 — знакочередующаяся сумма цифр делится на 11 (или равна нулю): первую цифру берём с плюсом, вторую с минусом, третью с плюсом и так далее. Для 2849: $2-8+4-9=-11$ — делится.

На 7 — отбрасываем последнюю цифру и вычитаем её удвоенное значение из того, что осталось; повторяем, пока число не станет маленьким. Для 1631: $163-2\cdot 1=161$, затем $16-2\cdot 1=14$. 14 делится на 7 — значит, и 1631 делится.

Оба признака работают и в сокращении. В дроби $\frac{2849}{3311}$ общего множителя не видно, но у числителя знакочередующаяся сумма $-11$, у знаменателя $3-3+1-1=0$ — оба делятся на 11. Потом проверяем 259 и 301 признаком на 7: $25-2\cdot 9=7$ и $30-2\cdot 1=28$ — оба делятся: