Проценты, сплавы и смеси

Работа с процентами

Процент — сотая часть

Процент и доля — одно и то же число в двух записях: $20\%=0,2=\frac{1}{5}$. В условии и в ответе пишут проценты, в вычислениях удобнее доли. От процентов к доле — делим на 100, обратно — умножаем.

Почти все ошибки в процентах происходят от одного: не ясно, от чего процент взят. «Цена выросла на 20%» — на 20% от старой цены. «Раствор содержит 20% соли» — 20% от массы всего раствора. Прежде чем считать, полезно вслух проговорить базу: от чего берем процент.

Увеличить и уменьшить на процент

Увеличить на $p\%$ — умножить на $1+\frac{p}{100}$. Уменьшить на $p\%$ — умножить на $1-\frac{p}{100}$.

Товар стоил 1200 рублей и подорожал на 15%. Новая цена — не «1200 плюс 15% отдельно», а одно умножение: $1200\cdot 1,15=1380$ рублей. Запись через множитель полезна тем, что несколько изменений подряд превращаются в произведение множителей.

Пример: найти исходную величину

После скидки 15% товар стоит 2550 рублей. Сколько он стоил до скидки?

Скидку считают от старой цены. Обозначим её $x$. Скидка 15% — это $0,15x$, после неё остаётся $100\%-15\%=85\%$ старой цены, то есть $0,85x$. Это и есть 2550 рублей:

Делить на 0,85 удобнее через обыкновенную дробь: $0,85=\frac{17}{20}$ (приём — в теме приёмы вычислений):

Проверка: $15\%$ от 3000 — это 450 рублей, $3000-450=2550$. Сошлось.

Ответ: 3000.

Пример: два одинаковых изменения

Цена товара дважды снижалась на одно и то же число процентов и упала с 5000 до 4050 рублей. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

Каждое снижение на $p\%$ — умножение на один и тот же множитель $k=1-\frac{p}{100}$. Два снижения подряд — умножение на $k$ дважды:

У уравнения два корня, $0,9$ и $-0,9$, но множитель цены отрицательным быть не может: подходит $k=0,9$. Множитель 0,9 оставляет 90% цены — значит, каждое снижение было на 10%.

Проверка: $5000\cdot 0,9=4500$, $4500\cdot 0,9=4050$.

Ответ: 10.

На сколько процентов больше

Сравнивая два числа в процентах, делим разность на то число, с которым сравниваем:

25 больше 20 на $\frac{5}{20}=25\%$, а 20 меньше 25 на $\frac{5}{25}=20\%$. Разность одна, базы разные — и проценты разные.