Что такое производная

Понятие предела функции

Ученики часто воспринимают производную как сложную и непонятную тему именно из-за того, что у них не сформировано представление о том, что вообще такое производная и для чего она нужна. Объяснение этой темы будет построено на базовых принципах работы с функциями. Важно дать ученику понять, что понятие предела, которое мы вводим, в общем-то является интуитивным и не содержит новой для него информации, а является удобным названием для обозначения значения, к которому приближается какое-либо выражение при приближении параметра, от которого оно зависит, к заданному значению. Строгое определение предела необязательно для понимания производной, поэтому ограничимся "простым" определением:

Большинство функций, с которыми нам придется работать в рамках подготовки к экзамену, являются непрерывными (то есть, буквально, их графики не имеют разрывов). Предел такой функции в любой точке равен значению функции в данной точке. Например, функция $f(x)=x^2$ приближается к значению $4$, если её аргумент приближается к значению $2$:

У ученика в этот момент появляется закономерный вопрос: для чего нужен предел, если в большинстве случаев он равен значению функции. Для ответа сконструируем чуть более сложную функцию:

Функция задана таким образом, что её значение в нуле не определено, так как на ноль делить мы не имеем права. Но никто не запрещает к нулю бесконечно приближаться и наблюдать, как ведет себя функция, к какому значению она стремится. В этом случае дробь можно будет сократить на $x$, так как мы рассматриваем приближение к нулю, а не само нулевое значение:

Предел позволяет математически обходить особые точки и анализировать функцию в их окрестности. Самое главное, что вычислять пределы можно не только для определенной функции, но и для композиции нескольких функций или для разности значений одной и той же функции в разных точках.