Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

Решения этого уравнения — это пересечение графика функции $y=a{x}^2+bx+c$ с осью абсцисс, то есть прямой $y=0$. В блоке про квадратичную функцию приведен разбор, как коэффициенты влияют на расположение графика функции и, соответственно, на количество корней уравнения. Здесь мы приведем вывод формулы корней квадратного уравнения и введем понятие дискриминанта.

Простейшие квадратные уравнения, содержащие в левой части переменную в квадрате, а в правой — число, решаются извлечением квадратного корня из правой части. Именно при решении квадратных уравнений возникает потребность в иррациональных числах. Например:

Решением будет являться число, которое при возведении в квадрат даст 5. Таких числа существует два, так как операция возведения в квадрат "съедает" знак минус:

Можно свести общий вид квадратного уравнения к похожему выражению, если выделить полный квадрат:

Решения исходного уравнения:

Выражение под корнем называется дискриминантом:

От значения дискриминанта зависит, сколько корней имеет квадратное уравнение. Если дискриминант отрицательный, то корень не извлекается (на множестве вещественных чисел), поэтому вещественных корней уравнение не имеет.

Если дискриминант равен нулю, оба корня уравнения принимают одинаковые значения:

При положительном дискриминанте уравнение имеет два различных корня.