Точки экстремума

Понятие локального экстремума функции

В первую очередь, ученика нужно познакомить со всеми нужными понятиями, чтобы не было путаницы между экстремумами и нулями функции и производной.

Максимумы и минимумы функции могут быть как абсолютными, так и локальными. Абсолютный максимум (минимум) — это точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на всей области определения. Локальный максимум (минимум) — это точка, значение в которой больше (меньше), чем во всех остальных точках, находящихся достаточно близко к ней. На графике функции экстремумы — это горбы и впадины.

Какой бы максимум (минимум) мы ни взяли, слева и справа от него характер монотонности функции будет отличаться. На примере максимума: слева от него функция, очевидно, возрастает, а справа — убывает. Принято считать, что в самой точке максимума или минимума функция и возрастает, и убывает одновременно. Локальный экстремум — это точка, в которой характер монотонности функции меняется на противоположный.

Производная и экстремумы функции

Зная, что производная — это скорость изменения функции, мы можем использовать её для анализа экстремумов функции. Скорость изменения может быть положительной, в этом случае функция возрастает, и может быть отрицательной, тогда функция убывает. Рассмотрим какой-нибудь локальный максимум: слева от него функция возрастает, значит, то есть производная (скорость изменения) положительна. Справа от максимума функция убывает, производная отрицательна. Если производная непрерывна (а нам предстоит работать именно с такими случаями), то скачком она измениться не может, поэтому, чтобы от положительного значения перейти к отрицательному, ей придётся пройти через ноль. Именно этой точке, где производная обращается в ноль, находится экстремум.

Нули производной — это возможные точки экстремума, то есть, найдя нули производной, мы находим “кандидатов” и далее анализируем их на наличие экстремума.

Пример: парабола

Проанализируем функцию $f(x)=x^2$ на наличие экстремумов с помощью производной. Построив график, мы можем увидеть, что функция имеет минимум в точке $x=0$, однако нам не всегда будет удобно строить график функции, экстремумы которой мы хотим найти. Поэтому необходим инструмент, позволяющий сделать это без построения графика.

Забегая немного вперёд, запишем производную функции:

В данном случае производная имеет единственный ноль:

Точка $x=0$ — потенциальная точка экстремума. Чтобы понять, есть ли в ней экстремум, необходимо определить знак производной слева и справа от этой точки. Для этого достаточно выбрать какие-либо точки (например, $-1$ и $1$) и вычислить значения, либо воспользоваться методом интервалов. В нашем случае слева от $x=0$ производная отрицательна, а справа — положительна. Чтобы не рисовать график, удобно отметить нули производной на координатной прямой и расставить знаки в промежутках (такую схему удобно использовать для исследования функции на экстремумы, в частности, в 12 задании первой части). Итак, над координатной прямой можно отметить знаки производной, а под прямой стрелками показать характер монотонности функции (возрастание и убывание).

Мы определили характер монотонности функции в обоих промежутках, в нашем случае до потенциальной точки экстремума функция убывает, а после — возрастает (графики читаются слева направо). Значит, точка $x=0$ является локальным минимумом функции $f(x)=x^2$.

Пример: функция, заданная графически

Из графика функции мы можем извлечь некоторую информацию о её производной. На рисунке выделены разными цветами промежутки возрастания и убывания функции. В промежутках возрастания производная функции положительна, в промежутках убывания — отрицательна, а в точках экстремума — равна нулю. То есть, можем записать:

При этом точки, в которых возрастание сменяется убыванием (производная меняет знак с «$+$» на «$-$»), являются точками максимума — это точки $x_1$, $x_3$, $x_5$. В точках $x_2$, $x_4$, $x_6$, наоборот, убывание сменяется возрастанием, а производная меняет знак с «-» на «+» — это точки минимума.

На рисунке красным цветом выделены промежутки возрастания функции, зелёным — промежутки убывания. Тогда в красных промежутках (промежутки берутся по координате $x$) производная положительна, а в зелёных — отрицательна.

Пример: производная, заданная графически

Теперь у нас нет информации об исходной функции, но есть график производной. На рисунке разными цветами выделены промежутки знакопостоянства производной (простыми словами, промежутки, в которых производная не меняет знак). В тех промежутках, где производная положительна, исходная функция возрастает, а в промежутках, где производная отрицательна, — убывает. Значит, с самого начала до точки $x_1$ функция возрастает. Затем в промежутке ($x_1$; $x_2$) функция убывает. Следовательно, в точке $x_1$ должен быть локальный максимум исходной функции. Аналогично для остальных трех точек.

Максимумы исходной функции: точки $x_1$, $x_3$

Минимумы исходной функции: точки $x_2$, $x_4$​

Интерактивный график