Показательная функция

Показательная функция

Почему на основание степени накладываются такие ограничения:

Показатель степени (аргумент функции) может принимать любые вещественные значения. С целыми значениями всё понятно — возвести в целую степень мы можем любое число, но если степень дробная (см. свойства степеней), то это подразумевает извлечение корня, степень которого может быть и чётной. Поэтому основание точно не может быть отрицательным. Ноль в качестве основания мы даже не рассматриваем, так как его можно возвести только в положительную степень. А единица при возведении в любую степень даёт единицу, то есть, функция станет константой, такой случай нам не интересен.

Кривая, являющаяся графиком показательной функции, не имеет особого названия. Сама функция монотонна, то есть либо возрастает на всей области определения, либо всюду убывает. При значениях $a>1$ функция является возрастающей, так как в этом случае значение будет тем больше, чем больше значение показателя степени, то есть, аргумента. При $0<a<1$ функция является убывающей.

Всем функциям вида $y=a^x$ будет принадлежать одна точка — $(0;1)$, так как любое возможное значение $a$ при возведении в нулевую степень даст единицу. На рисунке показаны графики функций при различных значениях $a$.