Производная › Правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Определение

Вычисление производной называется дифференцированием

Пусть есть две функции — $u (x)$ и $v (x)$ . Для краткости будем записывать их как просто $u$ и $v$ , подразумевая, что это функции, зависящие от $x$ .

Часто бывает нужно вычислить производную от функции, которая не является элементарной, а состоит из суммы, разности, произведения или частного каких-либо элементарных функций. Для понимания, как возникают правила дифференцирования для таких конструкций из элементарных функций, ученикам с хорошей базой полезно продемонстрировать их вывод.

Удобно ввести обозначение приращения функции следующим образом:

f (x + Δ x) - f (x) = Δ f

Это обозначение нужно для более наглядной и компактной записи следующих выводов. Итак, приращение функции $u$ обозначается как $Δ u$ , приращение $v$ — как $Δ v$ . Тогда их производные запишутся как:

u^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ u}{Δ x}, v^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ v}{Δ x}

1
Производная суммы:

(u + v)^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{u ( x + Δ x ) + v ( x + Δ x ) - ( u + v )}{Δ x} =

= Δ x \to 0 lim \frac{u + Δ u + v + Δ v - u - v}{Δ x} = Δ x \to 0 lim (\frac{Δ u}{Δ x} + \frac{Δ v}{Δ x}) = u^{'} + v^{'}

дальше по доступу

01Продолжение раздела «Правила дифференцирования»
02Производная сложной функции

Доступ привязан к учётной записи — сначала вход, потом оплата

Войти и открыть доступ

Без оплаты открыты «Треугольники», «Формулы приведения» и «Точки экстремума» — их можно читать без входа.

← Как получить производную без таблицы Таблица производных →