Планиметрия › Треугольники

Треугольники

Произвольный треугольник

Вычисление площади произвольного треугольника

1
Основная формула:

S = \frac{1}{2} ah

Забегая вперёд, можем выразить высоту через синус:

h = b \cdot s in α

Тогда, подставив это выражение в первую формулу вместо $h$ , получим вторую формулу

2
Площадь через произведение сторон и синус угла между ними:

S = \frac{1}{2} ab sin α

3
Формула Герона: (используется крайне редко, в задачах из первой части профильного ЕГЭ практически не встречается, приведена в ознакомительном порядке)

S = p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)

p = \frac{a + b + c}{2}

Некоторые другие формулы вычисления площади произвольного треугольника и их выводы рассмотрены в разделе окружности.

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между нимиЕсли две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны
По стороне и прилежащим к ней угламЕсли сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны
По трем сторонамЕсли три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны

Признаки равенства проще всего осознаются на физическом примере. Для первого признака можно взять пару карандашей, закрепив их таким образом, чтобы угол между ними не менялся. Длина карандашей неизменна, угол между ними тоже. Соединив свободные концы карандашей можно получить треугольник единственном образом. Следовательно, если взять взять два таких "стартовых набора", мы получим две одинаковые фигуры. Аналогично можно рассмотреть второй и третий признаки.

Общий принцип всех трех признаков заключается в том, что нам необходимо зафиксировать какие-либо три параметра, чтобы исчезла возможность менять фигуру. Единственным неподходящим набором параметров является набор из трех углов, так как на самом деле значимыми являются лишь два из них (третий угол зависит от значений первых двух).

Основные свойства произвольного треугольника

1
Сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов: $α + β + γ = 180°$ Отсюда следует, что, зная два угла любого треугольника, мы всегда можем вычислить третий.

2
Биссектриса треугольника делит сторону, к которой проведена, на отрезки, пропорциональные боковым сторонам:

\frac{B E}{E C} = \frac{A B}{A C}

Крайне часто ученики испытывают трудности с запоминанием этого свойства и путают отрезки в отношениях, поэтому рассмотрим, как кратко и быстро его вывести.

Доказательство имеет две точки опоры: формула площади треугольника и свойство биссектрисы как геометрического места точек (ГМТ).

Проведем высоту треугольника ABC из той же вершины, откуда выходит биссектриса. Обозначим длину этой высоты как $h_{1}$ . Она также является высотой для треугольников ABE и ABC, значит, их площади можно записать так:

S_{Δ A B E} = \frac{1}{2} \cdot B E \cdot h_{1} S_{Δ A E C} = \frac{1}{2} \cdot E C \cdot h_{1}

AE – биссектриса, значит, по свойству, расстояния от точки E до сторон AB и AC равны (это высоты треугольников ABE и AEC, обозначим их как $h_{2}$ ). Тогда площади треугольников ABE и AEC можно записать иначе:

S_{Δ A B E} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h_{2} S_{Δ A E C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot h_{2}

Отношение этих площадей не изменилось от того, что мы записали их иначе, поэтому отношения правых частей равенств будут равны друг другу, что и требовалось получить:

\frac{B E}{E C} = \frac{A B}{A C}

3
Биссектрисы пересекаются в одной точке, медианы пересекаются в одной точке, высоты также пересекаются в одной точке. Эти точки не обязательно совпадут (совпадут только в равностороннем треугольнике)
4
Медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины:

\frac{A O}{O A _{1}} = \frac{B O}{O B _{1}} = \frac{C O}{O C _{1}} = \frac{2}{1}

Доказательство опирается на свойства параллелограмма и средней линии, его имеет смысл изучать при переходе к геометрическим задачам второй части экзамена.

5
Медиана делит любой треугольник на два равновеликих (то есть, равных по площади) треугольника

Свойство напрямую следует из основной формулы для вычисления площади треугольника. У треугольников ABM и BMC одна высота, а основания равны, так как BM является медианой:

S_{A B M} = \frac{1}{2} x h

S_{B M C} = \frac{1}{2} x h

Теорема синусов

Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов одинаково и равно диаметру (удвоенному радиусу) описанной окружности:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

$R$ — радиус описанной около треугольника окружности

Позволяет, зная угол и сторону, лежащую напротив него, найти радиус описанной окружности. Также можно использовать эту теорему, чтобы найти сторону, зная другую сторону и два угла, либо найти угол (его синус), зная две стороны и угол, противолежащий одной из них. Подробнее про эту теорему рассказываем в теории по окружностям.

Первые два равенства можно доказать уже сейчас, дважды использовав формулу площади треугольника:

S = \frac{1}{2} ab sin γ = \frac{1}{2} b c sin α

Отсюда сразу получаем:

\frac{a}{sin α} = \frac{c}{sin γ}

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения на косинус угла между ними:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α

Позволяет найти третью сторону треугольника по двум известным сторонам и углу, лежащему напротив искомой. Подробнее чуть ниже.

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольных треугольников существуют свои признаки равенства (все они получаются из признаков равенства произвольных треугольников и особых свойств прямоугольных). Вот эти признаки:

По двум катетам (сводится к третьему признаку равенства треугольников, так как гипотенузу можно найти по теореме Пифагора)
По катету и гипотенузе (аналогично, из теоремы Пифагора можем найти второй катет)
По катету и острому углу (зная катет и синус/косинус угла в зависимости от того, прилежащим или противолежащим он является, легко найдем гипотенузу и придем к предыдущему признаку)
По гипотенузе и острому углу (так же через синус или косинус можем найти один из катетов, то есть, придем снова к признаку под номером 2)

Площадь прямоугольного треугольника

Так как прямоугольный треугольник является половинкой прямоугольника, то его площадь можно вычислить как половину произведения катетов:

S = \frac{1}{2} ab

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Зная любые две стороны прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора, можно легко найти третью сторону

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = \frac{a}{c}

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos α = \frac{b}{c}

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α = \frac{a}{b}

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctg α = \frac{b}{a} = \frac{1}{tg α}

Из определения тангенса можно вывести еще одну формулу, связывающую синус и косинус:

tg α = \frac{a}{b} = \frac{a / c}{b / c} = \frac{sin α}{cos α}

Используя теорему Пифагора, можно получить основное тригонометрическое тождество:

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = \frac{c ^{2}}{c ^{2}} = 1 ⟹ sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Тригонометрические функции выходят далеко за рамки прямоугольных треугольников. Подробнее про тригонометрию можно прочитать в разделе введение в тригонометрию.

Теорема косинусов как общий случай теоремы Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos α

Теорема косинусов расширяет теорему Пифагора для использования на произвольных треугольниках. В частном случае, когда угол $α$ прямой (его косинус равен нулю), мы как раз и получим теорему Пифагора.

На картинке показано, как при прочих равных при изменении угла меняется длина бывшей гипотенузы (стороны $c$ ). Посмотрим, как это согласуется с теоремой косинусов.

Если мы будем уменьшать угол $α$ , то его косинус будет возрастать (как показано в теории по тригонометрическим функциям). Тогда вычитаемое $2 ab \cdot cos α$ будет возрастать (стороны $a$ и $b$ не меняются), следовательно, будет уменьшаться результат, то есть, сторона $c$ .

Если же мы будем увеличивать угол $α$ , он станет тупым, и его косинус будет “расти” в отрицательную сторону. Выражение $- 2 ab \cdot cos α$ станет положительным за счёт отрицательного значения косинуса и минуса вначале, значит, к сумме квадратов сторон $a$ и $b$ мы будем уже прибавлять некоторое значение, и сторона $c$ станет больше.

Равнобедренный треугольник

У равнобедренного треугольника есть всего два дополнительных свойства:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны
Высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, являются одним отрезком

Оба этих свойства являются следствием равенства двух треугольников, на которые медиана делит исходный. Они равны по трём сторонам, а значит, все их углы также равны. Также можно рассмотреть треугольники, на которые делит исходный высота или биссектриса, мы придем к тем же выводам.

При решении задач часто бывает полезно провести высоту (она же биссектриса и медиана) к основанию, так как мы получаем два равных прямоугольных треугольника. В них мы уже можем использовать теорему Пифагора и тригонометрические функции.

Правильный (равносторонний) треугольник

Правильный треугольник — частный случай равнобедренного. Это треугольник, у которого все стороны равны. У него появляется несколько дополнительных свойств, часть из которых мы еще обсудим, а пока рассмотрим одно из них и выведем формулу площади.

В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны и имеют градусную меру $60°$

Отсюда напрямую будет следовать формула площади равностороннего треугольника. Проведем высоту и посмотрим на один из образовавшихся прямоугольных треугольников. Запишем синус известного нам угла A и выразим высоту

sin A = \frac{h}{a} = sin 60^{\circ} = \frac{3}{2} ⟹ h = \frac{a 3}{2}

Теперь подставим её в классическую формулу для площади и получим:

S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{a ^{2} 3}{4}

Подобие треугольников

Простыми словами, фигуры называют подобными, когда одна из них является уменьшенной копией другой. Это означает, что все углы сохраняют градусную меру, а стороны изменяются с одинаковым коэффициентом пропорциональности. Отношение сторон одного треугольника к сторонам другого одинаково и называется коэффициентом подобия

\frac{B C}{B _{1} C _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = k

При этом отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\frac{S _{A B C}}{S _{A_{1} B_{1} C_{1}}} = k^{2}

Признаки подобия треугольников

Можно провести прямое сравнение с признаками равенства: признаки подобия получаются из них, если мы жесткую "фиксацию" длин сторон заменяем на пропорциональность. Применительно ко второму признаку, пропорциональность является излишней, так как речь идет только об одной стороне.

1
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = k, ∠ A = ∠ A_{1}

2
По двум углам:

∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1}

3
По трём пропорциональным сторонам:

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = k

Средняя линия треугольника

Определение

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника

Чертёж к разделу «Средняя линия треугольника» — теме «Треугольники»

Средняя линия треугольника отсекает в нём треугольник, подобный исходному, причем коэффициент подобия равен двум. Действительно, две стороны “внешнего” треугольника в два раза больше сторон “внутреннего”, и угол между этит сторонами — общий для двух треугольников. Итак, треугольники подобны с коэффициентом 2, значит, все стороны маленького треугольника ровно в два раза меньше сторон большого, то есть, средняя линия равна половине третьей стороны треугольника. Кроме того, все углы одного равны соответственно всем углам другого. Тогда по соответственным углам (см. теорию по параллельным прямым) можно заключить, что средняя линия параллельна третьей стороне.

Свойства средней линии

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия, равным двум
Средняя линия равна половине третьей стороны треугольника: ( $M N = B C /2$ )
Средняя линия параллельна третьей стороне: ( $M N ∣∣ B C$ )

← Параллельность прямых Четырехугольники →