Логарифмическая функция

Логарифмическая функция

Откуда берутся ограничения: см. логарифмические уравнения.

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции. Чтобы это показать, возьмем число x, возведем в эту степень какое-нибудь основание (пусть это будет число $a$, оно должно быть положительным и не равным единице) и получим $a^x$. Теперь возьмем от полученного выражения логарифм по тому же основанию $a$ и преобразуем, согласно свойствам логарифмов:

Получается, что логарифмирование по основанию $a$ отменяет операцию возведения $a$ в степень $x$. То есть, эти операции являются обратными по отношению друг к другу. Также и функции — показательная и логарифмическая — являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x$ (см. рисунок)

Характер монотонности (возрастание или убывание) логарифмической функции, как и в случае с показательной функции, зависит от значения основания $a$. При $0<a<1$ график логарифма будет убывать, а при $a>1$ — возрастать. Проиллюстрируем, почему так, на примере логарифмов с основаниями $2$ и $1/2$ (пользуемся свойствами логарифмов):

То есть, логарифм по основанию $1/2$ — это логарифм по основанию $2$, взятый со знаком минус. Тогда график первого будет зеркальным отражением графика второго относительно оси x, как показано на рисунке. Любое число, меньшее единицы, можно представить как число, большее единицы, в отрицательной степени и получить такое же соотношение.